RAZÃO E PROPORÇÃO...

A Semelhança através de Ampliações e Reduções de Figuras

          Você sabe qual a relação entre as medidas de uma foto original e de sua ampliação ou redução? E se não considerássemos as medidas originais da foto para ampliá-la ou reduzi-la o que aconteceria?

REFERÊNCIA: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/

COMO CONSTRUIR FIGURAS SEMELHANTES?

Quando ouvimos a expressão "figuras semelhantes" logo pensamos em figuras que se assemelham, figuras parecidas, de mesma aparência. Podemos associar a idéia de figuras semelhantes a ampliações ou reduções de uma figura em outras guardando semelhança na forma. Mas o que vem a ser 'figuras semelhantes' em matemática? Matematicamente podemos dizer que duas figuras F e F' são semelhantes quando guardam entre elas uma proporção. Isto é, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de F e os pontos de F', tal que X'Y' / XY = r, onde X e Y são pontos de F e X'e Y'pontos de F'e r constante (razão de semelhança). Observe a figura. No nosso dia a dia podemos observar inúmeros exemplos de semelhança entre objetos. Por exemplo, quando tiramos uma fotografia, a imagem que vemos na foto é a representação reduzida e proporcional do objeto em tamanho real e ao mesmo tempo é uma ampliação da figura que aparece no negativo. A planta de uma casa, projetada pelo arquiteto, também é um exemplo de semelhança entre a casa em tamanho real e o seu desenho no papel. Você seria capaz de lembrar outras situações do cotidiano em que se observa semelhança de figuras? -Pense nisto! Como ampliar ou reduzir figuras de modo que elas mantenham suas características? Por exemplo, como desenhar em um cartaz um personagem de quadrinhos? Como poderíamos ampliar as figuras abaixo?    Vamos começar considerando figuras bem simples: TRIÂNGULOS!! Na geometria plana é dito que dois triângulos são semelhantes quando os ângulos e os lados do primeiro triângulo estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo, de tal forma que seus ângulos sejam iguais e os lados do primeiro triângulo sejam proporcionais aos lados do segundo. No entanto para nos assegurarmos de que dois triângulos são semelhantes podemos usar alguns critérios para semelhança de triângulos: AA, LAL, LLL. Com estes critérios não precisamos necessariamente conhecer os três ângulos e os três lados de cada triângulo. Se conhecermos dois ângulos ou dois lados e o ângulo entre eles ou três lados de cada triângulo podemos afirmar se estes triângulos são ou não semelhantes. Existem diversas maneiras de se ampliar ou reduzir figuras. Uma idéia bem simples de se fazer isto é: Dividir em partes iguais (quadriculadas) o papel em que a figura a ser ampliada ou reduzida se encontra, e dividir de igual maneira (porém o quadriculado maior ou menor) o papel no qual se fará a cópia. Assim, copia-se a figura correspondendo-se cada traço do original na cópia. Veja a figura. Um outro método de se ampliar figuras pode ser por Homotetia.

CONSTRUÇÃO DE FIGURAS SEMELHANTES POR HOMOTETIA

Queremos ampliar o polígono ABCDE e em seguida reduzí-lo. Como devemos proceder? Marcamos um ponto F (foco) qualquer. Traçamos as retas: FA, FB, FC, FD e FE. Marcamos um ponto A' sobre a reta FA, de modo que FA' = r.FA (r= razão de semelhança). Marcamos um ponto B' sobre a reta FB, de modo que FB' = r.FB (mesma razão de semelhança usada para marcar o ponto A'). Procedemos da mesma maneira marcando os pontos C', D' e E'. Traçamos os segmentos: A'B', B'C', C'D' e E'A' e obtemos o plígono A'B'C'D'E' ampliação de ABCDE, isto por que neste caso tomamos a razão de semelhança r > 1. Procedemos da mesma maneira para reduzirmos o polígono, tomando neste caso a razão de semelhança r < 1. Podemos observar que sempre que escolhemos pontos quaisquer em uma figura a ser reproduzida e estipulando um foco (F) e uma razão de semelhança (r) quaisquer, podemos ampliar ou reduzir esta figura. Assim sendo a nossa figura também pode ser CURVA ! Agora que já sabemos como ampliar e reduzir uma figura qualquer por homotetia, vamos entender a matemática desta técnica!  Homotetia - Veja sua matemática! Quando marcamos um ponto A' sobre a reta FA, tal que FA' = rFA, chamamos de r, a razão de semelhança. - Mas o que vem a ser exatamente uma razão de semelhança? A palavra razão é usada em matemática quando queremos comparar dois ou mais elementos. A razão de um número em relação a outro é uma comparação entre estes números através de uma divisão. Por exemplo, se a e b são dois números e b # 0, a razão entre a e b é a/b. Assim sendo, a razão entre dois segmentos é na verdade a razão entre suas medidas tomadas na mesma unidade. Por exemplo, a razão entre os segmentos abaixo, AB e BC é 3/5. Podemos compreender melhor este conceito, aplicando-o a figuras geométricas bem simples, triângulos! -Dizemos que dois triângulos são proporcionais quando as razões dos lados homólogos (correspondentes) são iguais. Por exemplo, os lados dos triângulos ABC e A'B'C' são proporcionais, já que a razão entre seus lados homólogos (a e a', b e b', c e c') é igual. Então quando chamamos de r a razão de semelhança da figura reproduzida numa homotetia significa que FA'= rFA, ou seja r = FA' / FA.Observe a figura. Mas o que nos garante que estas figuras são realmente semelhantes? -Para termos a semelhança assegurada é preciso que mostremos que a razão entre quaisquer dois segmentos que traçarmos (a partir de dois pontos em correspondência) nas duas figuras seja igual. Começamos marcando um ponto X qualquer na figura 1 e seu correspondente X' na figura 2 de forma que os segmentos FX e FX' tenham a mesma razão de semelhança (r) que FA e FA'. Teremos então uma figura assim: Podemos observar que se ligarmos os pontos A com X e A'com X' teremos dois triângulos: FAX e FA'X'. E o que podemos afirmar sobre estes triângulos? Os lados FA e FA' e os lados FX e FX' são proporcionais, já que possuem a mesma razão de semelhança (r). O ângulo F dos dois triângulos é o mesmo. E assim sendo, pelo critério de semelhança LAL (revisão dos critérios), podemos afirmar que os triângulos são semelhantes! Se os dois triângulos são semelhantes, então os segmentos AX e A'X' são proporcionais aos outros lados dos triângulos. Então estes lados possuem a mesma razão de semelhança (r) que os outros pontos da figura. -Agora sim podemos afirmar que estas duas figuras são semelhantes!

Estes métodos simples de ampliar ou reduzir figuras são eficazes em determinadas atividades, porém não são muito práticos.Queremos aqui construir figuras semelhantes de maneira mais eficaz e ao mesmo tempo simples. Você tem idéia de como poderíamos fazer isto?- Através de um instrumento especial:

O PANTÓGRAFO !

Este instrumento amplia ou reduz figuras mantendo sempre sua forma, dependendo de qual dos pontos (L ou S) foi escolhido para fazer a reprodução. Vamos entender a matemática deste instrumento!  PANTÓGRAFO Definimos uma transformação geométrica como sendo uma correspondência, um a um, entre pontos de um mesmo plano ou de planos diferentes.Nosso propósito aqui é estudar uma transformação especial, que quando aplicada a figuras do plano pode alterar suas medidas, ampliando ou reduzindo a figura original, ou seja, é uma transformação que relaciona figuras semelhantes. O instrumento que apresentamos anteriormente, o pantógrafo ( pantos = tudo + graphein= escrever ) corresponde a esta transformação: amplia ou reduz a figura original.  Vamos entender agora por que o pantógrafo de fato realiza tal transformação. Para isto precisamos deixar claro os princípios de construção do instrumento:

Observe a figura.

Construiu-se duas hastes AL e CS observando que o fator de ampliação é dado por AL / AB. Uma terceira haste FA = AL. Outra haste BS = AL - CS. Marcou-se em FA um ponto C e em AL um ponto B tais que: AC = BS e AB = CS. Observe que os pontos L e S, percorrem a figura a ser reproduzida, assumindo os papéis de lápis ou ponta seca de um compasso. A figura é ampliada se escolhermos o ponto S como ponta seca e é reduzida se escolhermos L como ponta seca. Para que este instrumento realmente funcione como um 'ampliador' de figuras é preciso que AL / AB seja igual a FL / FS, isto é, S deve pertencer à reta FL. REFERÊNCIA:  http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/malice2/sistems2.htm Teorema de Pitágoras Na Grécia, por volta do século VI a.C., Pitágoras (580-500 a.C.) fundou uma escola mística secreta chamada Escola Pitagórica. Os membros desta sociedade, os pitagóricos, ti- nham uma filosofia de vida em que os números apresentavam importância fundamental: a harmonia do universo, o movimento dos planetas, a vida ani- mal e vegetal, o som, a luz, tudo isso só podia ser explicado através dos números. Porém, a descoberta do famoso teorema “em todo e qualquer triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos qua- drados das medidas dos catetos”, que estuda- remos neste livro, levou os pitagóricos a uma nova descoberta que iria abalar os seus princípios a res- peito dos números. Eles conheciam os números inteiros e as frações; estas não eram consideradas números mas repre- sentavam comparações entre grandezas de mesma espécie. Observaram que, num quadrado, a razão entre a medida "D" da diagonal e a medida "L" do lado não poderia ser escrita como uma fração. Para eles, essa situação contrariava a idéia de que tudo poderia ser expresso por uma relação de nú- meros. Assim, juraram nunca revelar a estranhos a existência desse fato inexprimível, o qual eles cha- maram de alogon. Menos de um século depois, o segredo dos pita- góricos tornou-se conhecido de todos os pensa- dores, e o advento dos números irracionais marca o declínio daEscola Pitagórica como sistema de fi- losofia natural. De acordo com os dados históricos, a Geometria dos antigos egípcios estava basea- da na pirâmide de base quadrada. Como os egípcios faziam para obter ângulos retos? Usando uma corda com 12 nós, os egípcios construíam um triângulo retângulo particu- lar para obter “cantos”em ângulos retos. Esse triângulo particular tem lados medindo 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades de comprimento. Nesse triângulo, o ângulo formado pelos dois lados menores é um ângu- lo reto. REFERÊNCIA:http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teopitago/index.htm Medindo Objetos através de Semelhança de Triângulos           Você sabe de que forma podemos obter medidas de distâncias inacessíveis, por exemplo, medir a largura de um rio, profundidade de um abismo, altura de um edifício ou de uma árvore?           Isso pode ser feito através de semelhança de triângulos. Neste Objeto de Aprendizagem, você vai conhecer algumas dessas aplicações utilizando diversos objetos e suas respectivas sombras e, pela comparação de triângulos, poderemos descobrir a altura de outros objetos. REFERÊNCIA: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/